Abstract in German:

In der Dissertation werden Waveletmethoden betrachtet, die in der Lage sind, verschiedene Richtungen in digitalen Bildern zu erkennen. Die dabei verwendeten Haarwavelets sind stückweise konstante Funktionen mit kompaktem Träger im Zeitbereich. Zunächst konstruieren wir ein nicht-adaptives Waveletsystem, das aus gerichteten Haarwavelets auf Dreiecken besteht. Wir untersuchen Dreieckszerlegungen der reellen Ebene mit vier Richtungen, das daraus resultierende Waveletsystem generiert eine Orthonormalbasis des $L^2({\mathbb R}^2)$. Im nächsten Schritt erweitern wir den Ansatz, indem wir vier weitere Richtungen zulassen. Das nun entstehende Waveletsystem verliert seine Basiseigenschaft, wir erhalten einen Frame mit vierfacher Redundanz. Schließlich konstruieren wir ein noch allgemeineres Haarwaveletsystem, das aufgrund einer geeigneten Dreieckszerlegung beliebig viele Richtungen aufweist. Nachdem wir für alle Methoden den zugehörigen Filterbank-Algorithmus ausführlich beschrieben haben, wenden wir ihn zur Entstörung und zur Approximation von Bildern an. Im zweiten Teil der Arbeit führen wir eine neue adaptive Wavelettransformation ein, die sogenannte Tetrolet-Transformation. Die verwendeten Haarwavelets basieren auf einer adaptiven Tetromino-Zerlegung des diskreten Bildraumes und bilden eine Orthonormalbasis. Auch hier beschreiben wir den Filterbank-Algorithmus und illustrieren an vielen Beispielen die enorme Effizienz der Methode bei der Approximation von Bildern. Wir untersuchen die numerische Komplexität und die zusätzlichen Adaptivitätskosten, was zu kostenreduzierenden Modifikationen der Transformation führt. Das letzte Kapitel ist einer Postprocessing-Methode gewidmet, die die Schwächen von gerichteten Haarwavelet-Transformationen beheben soll. Durch die Verwendung von Haarwavelets liefern unsere Methoden eine stückweise konstante Approximation der Bilder. Durch Anwenden eines angepassten Postprocessing-Schemas können wir die Regularität des approximierten Bildes nachträglich erhöhen, ohne dabei die Bildkanten zu verwischen. Unsere Methode verwendet dazu eine anisotrope Totale-Variations-Minimierung. Die guten Ergebnisse in der Anwendung bestätigen die theoretischen Resultate, dass die Approximationsqualität der Bilder bei geeigneter Wahl der Parameter des Postprocessing-Verfahrens verbessert werden kann.